Afstande i planen

To punkter er givet ved $P(3,7)$ og $Q(-2,-5)$. Bestem afstanden $|PQ|$.

Linjen $l$ har ligningen $y=2x-3$, og punktet $P$ har koordinaterne $(4,1)$. Bestem den korteste afstand fra $P$ til $l$.

Linjen $m$ er bestemt ved $3x-4y+8=0$. Hvor langt ligger punktet $P(-3,5)$ fra $m$? (dvs. den korteste afstand)

Punkterne $A(1,2)$ og $B(5,10)$ ligger på linjen $l$, og punktet $P$ har koordinaterne $(-4,3)$.

1. a)Bestem en ligning for $l$.
2. b)Bestem den korteste afstand fra $P$ til $l$.

En linje $n$ opfylder ligningen $2x+5y=20$, og punktet $P(7,-1)$ er givet. Bestem den korteste afstand fra $P$ til $n$.

Punktet $Q$ har koordinaterne $(2,3)$, og punktet $P$ har koordinaterne $(6,y)$. Det oplyses, at $|PQ|=5$. Bestem de mulige værdier af $y$.

I et koordinatsystem er trekant $ABC$ givet ved $A(-1,2)$, $B(5,2)$ og $C(2,8)$.

1. a)Bestem en ligning for linjen gennem $A$ og $B$.
2. b)Bestem den korteste afstand fra $C$ til linjen gennem $A$ og $B$.
3. c)Bestem arealet af trekant $ABC$.

Trekant $ABC$ har vinkelspidserne $A(1,1)$, $B(5,3)$ og $C(3,7)$.

1. a)Undersøg, om trekanten er ligebenet.
2. b)Bestem den korteste afstand fra $B$ til linjen gennem $A$ og $C$.
3. c)Argumentér for, at trekantens areal er $10$.

Linjen $l$ er givet ved $3x+4y-12=0$.

1. a)Bestem de punkter på $y$-aksen, som har den korteste afstand $2$ til $l$.
2. b)En anden linje har ligningen $y=px+1$. Bestem $p$, så den korteste afstand fra punktet $P(2,5)$ til denne linje er $2$.
3. c)Forklar, hvorfor der i b) kun findes én værdi af $p$.

I en model af et kystområde måles alle koordinater i kilometer. En ret kyststrækning beskrives af ligningen $3x+4y-60=0$, havnen ligger i $H(20,0)$, og en båd befinder sig i $B(2,3)$. Skibsføreren må ikke sejle tættere end $5\text{km}$ på kysten.

1. a)Undersøg, om båden overholder kravet om korteste afstand til kysten.
2. b)Bestem afstanden fra båden til havnen i luftlinje.
3. c)Båden sejler mod nord, så den nye position er $(2,8)$. Vurdér, om kravet fortsat er overholdt.