Normalfordelingen

Den stokastiske variabel $X$ er normalfordelt med middelværdi $\mu =50$ og spredning $\sigma =4$. Bestem $P(X\le 58)$ uden hjælpemidler.

Højden af 18-årige mænd i en population antages normalfordelt med $\mu =180\text{cm}$ og $\sigma =7\text{cm}$. Lad $X$ betegne højden af en tilfældigt udvalgt mand. Opgaven løses uden hjælpemidler.

1. a)Bestem sandsynligheden for, at $X>194\text{cm}$.
2. b)Bestem sandsynligheden for, at $173<X<187$.

To prøver er normalfordelte. I prøve A er ${\mu }_A=60$ og ${\sigma }_A=6$, i prøve B er ${\mu }_B=70$ og ${\sigma }_B=5$. En elev får $72$ point i prøve A og $75$ point i prøve B. Afgør uden hjælpemidler, i hvilken prøve elevens præstation er bedst i forhold til de øvrige.

Levetiden $X$ (i timer) for en type LED-pærer er normalfordelt med $\mu =500$ og $\sigma =60$. Bestem den levetid, som $90\%$ af pærerne højst opnår (dvs. $90\%$-fraktilen).

En maskine fylder poser, og fyldevægten er normalfordelt med $\mu =20,0$ gram. Det oplyses, at $10\%$ af poserne vejer mere end $25,0$ gram. Bestem spredningen $\sigma$.

Ventetiden $X$ i minutter i en telefonkø er normalfordelt med spredningen $\sigma =8$. Det oplyses, at $25\%$ af opkaldene har en ventetid under $60$ minutter. Bestem middelværdien $\mu$.

Vægten $X$ (i gram) af en pakke kaffe er normalfordelt med $\mu =250$ og $\sigma =5$.

1. a)Bestem uden hjælpemidler sandsynligheden for, at en pakke vejer mellem $240$ g og $260$ g.
2. b)Bestem uden hjælpemidler sandsynligheden for, at en pakke vejer mere end $265$ g.
3. c)Bestem sandsynligheden for, at en pakke vejer mere end $258$ g.

En vaccine giver bivirkninger hos $30\%$ af patienterne. $400$ patienter vaccineres, og $X$ betegner antallet med bivirkninger.

1. a)Bestem middelværdi og spredning for $X$.
2. b)Benyt normalfordelingen som approksimation til at bestemme sandsynligheden for, at mindst $135$ patienter får bivirkninger.

Temperaturen $X$ (i ${}^{\circ }\text{C}$) i et drivhus er normalfordelt med $\mu =22$ og $\sigma =1,5$.

1. a)Bestem det tal $a$, så $P(22-a<X<22+a)=0,80$.
2. b)Forklar, hvorfor $a$ i a) ikke kan bestemmes uden hjælpemidler, mens intervallet for $95\%$ kan.

En tapningsmaskine fylder flasker, og fyldemængden $X$ (i mL) er normalfordelt med $\mu =500$ og $\sigma =3$. En flaske kasseres, hvis den indeholder under $495\text{mL}$.

1. a)Bestem sandsynligheden for, at en tilfældigt valgt flaske kasseres.
2. b)Maskinen justeres, så højst $1\%$ af flaskerne kasseres, mens $\sigma$ er uændret. Bestem den mindst mulige indstilling af $\mu$.
3. c)Vurdér, om det er mere effektivt at reducere spredningen til $\sigma =2$ frem for at hæve $\mu$ som i b).